Volumenrechner

Volumen ist eine Quantifizierung des dreidimensionalen Raums, den eine Substanz einnimmt. Die SI-Einheit für das Volumen ist der Kubikmeter oder m3. Herkömmlicherweise wird das Volumen eines Behälters normalerweise durch sein Fassungsvermögen und die Menge an Flüssigkeit bestimmt, die er aufnehmen kann, und nicht durch die Menge an Platz, die der tatsächliche Behälter einnimmt. Die Volumina vieler Formen können mit wohldefinierten Formeln berechnet werden. In einigen Fällen können komplexere Formen in einfachere Aggregatformen zerlegt werden, und die Summe ihrer Volumina wird zur Bestimmung des Gesamtvolumens verwendet. Die Volumina anderer, noch komplexerer Figuren können mit der Integralrechnung berechnet werden, wenn es eine Formel für den Rand der Figur gibt. Darüber hinaus können Formen, die nicht durch bekannte Gleichungen beschrieben werden können, mit mathematischen Methoden wie der Finite-Elemente-Methode bewertet werden. Wenn die Dichte eines Stoffes bekannt und homogen ist, kann alternativ das Volumen anhand seines Gewichts berechnet werden. Dieser Rechner berechnet Volumen für einige der häufigsten einfachen Formen.

Kugel

Eine Kugel ist ein dreidimensionales Analogon eines zweidimensionalen Kreises. Dies ist ein perfekt rundes geometrisches Objekt, das aus mathematischer Sicht eine Menge von Punkten ist, die von einem bestimmten Punkt in seinem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind, wobei der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Kugel gleich dem Radius r ist. Das wohl bekannteste kugelförmige Objekt ist die perfekt runde Kugel. In der Mathematik wird zwischen einem Ball und einer Kugel unterschieden, wobei ein Ball der von einer Kugel umschlossene Raum ist. Unabhängig von diesem Unterschied haben eine Kugel und eine Kugel denselben Radius, Mittelpunkt und Durchmesser, und die Berechnung ihrer Volumina ist dieselbe. Wie beim Kreis wird die längste Strecke, die zwei Punkte der Kugel durch ihren Mittelpunkt verbindet, als Durchmesser d bezeichnet. Die Gleichung zur Berechnung des Volumens einer Kugel ist unten angegeben:

BEISPIEL: Claire möchte einen perfekt kugelförmigen Wasserballon mit einem Radius von 0,15 Fuß mit Essig füllen, um ihn am kommenden Wochenende im Wasserballonkampf gegen ihre Erzfeindin Hilda zu verwenden. Die benötigte Essigmenge kann anhand der folgenden Gleichung berechnet werden:

volumen = 4/3 × π × 0,15³ = 0.141 ft³

Kegel

Ein Kegel ist eine dreidimensionale Form, die sich von ihrer normalerweise runden Basis zu einem gemeinsamen Punkt, der Spitze genannt wird, glatt verjüngt. Mathematisch wird ein Kegel wie ein Kreis durch eine Reihe von Liniensegmenten gebildet, die mit einem gemeinsamen Mittelpunkt verbunden sind, außer dass der Mittelpunkt nicht in die Ebene eintritt, die den Kreis (oder eine andere Basis) enthält. Diese Seite betrachtet nur den Fall eines endlichen geraden Kreiskegels. Kegel, die aus Halblinien, nicht kreisförmigen Basen usw. bestehen und sich ins Unendliche erstrecken, werden nicht berücksichtigt. Die Gleichung zur Berechnung des Volumens eines Kegels lautet wie folgt:

wobei r der Radius und h die Höhe des Kegels ist.

BEISPIEL: Bela ist entschlossen, die Eisdiele mit ihren hart verdienten 5 $ zu verlassen, die gut angelegt sind. Während sie normale Zuckertüten bevorzugt, sind Waffelhörnchen unbestreitbar größer. Sie stellt fest, dass sie normale Zuckertüten gegenüber Waffelhörnchen zu 15 % bevorzugt und feststellen muss, ob das potenzielle Volumen der Waffelhörnchen ≥ 15 % größer ist als das Volumen der Zuckertüte. Das Volumen einer Waffeltüte mit einer runden Basis von 1,5 Zoll und einer Höhe von 5 Zoll kann mit der folgenden Gleichung berechnet werden:

volumen = 1/3 × π × 1,5² × 5 = 11.781 in³

Bela berechnet auch das Volumen der Zuckertüte und stellt fest, dass die Differenz < 15 % beträgt und entscheidet sich, eine Zuckertüte zu kaufen. Jetzt muss sie nur noch ihre engelhafte Baby-Niedlichkeit einsetzen, um das Personal dazu zu bringen, die Eiscremebehälter in ihre Waffel zu leeren.

Würfel

Ein Würfel ist das 3D-Gegenstück eines Quadrats und ein Objekt, das von sechs quadratischen Flächen begrenzt wird, von denen sich drei an jedem seiner Eckpunkte treffen und alle senkrecht zu ihren jeweiligen angrenzenden Flächen sind. Der Würfel ist ein Sonderfall vieler Klassifikationen von Formen in der Geometrie, einschließlich des quadratischen Quaders, des gleichseitigen Quaders und des regelmäßigen Rhomboeders. Unten ist die Gleichung zur Berechnung des Volumens eines Würfels:

volumen = a³
wobei a die Kantenlänge des Würfels ist.

BEISPIEL: Bob, der in Wyoming geboren wurde (und den Staat nie verlassen hat), besuchte kürzlich das Haus seiner Vorfahren in Nebraska. Schockiert von der Pracht Nebraskas und einer Umgebung, wie er sie noch nie zuvor erlebt hatte, erkannte Bob, dass er ein Stück Nebraska mit nach Hause nehmen musste. Bob hat einen 2 Fuß langen Würfelkoffer mit Kanten und berechnet die Menge an Erde, die er mit nach Hause nehmen kann, wie folgt:

volumen = 2³ = 8 ft³

Zylinder

Ein Zylinder in seiner einfachsten Form ist definiert als eine Fläche, die durch Punkte in einem festen Abstand von einer bestimmten Achse einer geraden Linie gebildet wird. Im allgemeinen Sprachgebrauch bezieht sich "Zylinder" jedoch auf einen regelmäßigen kreisförmigen Zylinder, bei dem die Basen des Zylinders Kreise sind, die durch ihre Mittelpunkte durch eine Achse verbunden sind, die senkrecht zu den Ebenen seiner Basen ist, mit einer gegebenen Höhe h und einem gegebenen Radius r. Die Gleichung zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ist unten dargestellt:

volumen = πr²h
wobei r der Radius und h die Höhe des Tanks ist.

BEISPIEL: Nikolay möchte im Wohnzimmer seines Hauses eine Sandburg bauen. Weil er stark an Recycling glaubt, fand er drei Fässer von einer illegalen Mülldeponie und reinigte sie mit Spülmittel und Wasser von chemischen Abfällen. Jedes Fass hat einen Radius von 3 Fuß und eine Höhe von 4 Fuß, und Nikolai bestimmt das Sandvolumen, das jedes aufnehmen kann, indem er die folgende Gleichung verwendet:

volumen = π × 3² × 4 = 113.097 ft³

Er baut erfolgreich eine Sandburg in seinem Haus und als zusätzlichen Bonus spart er Strom bei der Nachtbeleuchtung, da seine Sandburg im Dunkeln hellgrün leuchtet.

Rechteckiger Tank

Ein rechteckiger Tank ist eine verallgemeinerte Form eines Würfels, dessen Seiten unterschiedlich lang sein können. Es wird von sechs Flächen begrenzt, von denen drei an ihren Scheitelpunkten zusammenlaufen und alle senkrecht zu ihren jeweiligen angrenzenden Flächen sind. Die Gleichung zur Berechnung des Volumens eines Rechtecks ​​ist unten dargestellt:

volumen = Länge × Breite × Höhe

BEISPIEL: Darby liebt Kuchen. Sie geht jeden Tag 4 Stunden ins Fitnessstudio, um ihre Liebe zu Kuchen auszugleichen. Sie plant, den Kalalau-Trail in Kauai zu nehmen, und obwohl Darby in großartiger Verfassung ist, macht sie sich wegen des Mangels an Kuchen Sorgen um ihre Fähigkeit, den Trail zu beenden. Sie beschließt, nur das Nötigste einzupacken und möchte ihre perfekt rechteckige Tasche, 4 Fuß lang, 3 Fuß breit und 2 Fuß hoch, mit Kuchen füllen. Die genaue Menge an Kuchen, die sie in ihr Paket packen kann, wird unten berechnet:

volumen = 2 x 3 x 4 = 24 ft³

Kapsel

Die Kapsel ist eine dreidimensionale geometrische Form, die aus einem Zylinder und zwei halbkugelförmigen Enden besteht, wobei die Halbkugel eine halbe Kugel ist. Daraus folgt, dass das Volumen der Kapsel berechnet werden kann, indem man die Volumengleichungen für eine Kugel und einen geraden Kreiszylinder kombiniert:

wobei r der Radius und h die Höhe des zylindrischen Teils ist.

BEISPIEL: Bestimmen Sie bei einer gegebenen Kapsel mit einem Radius von 1,5 Fuß und einer Höhe von 3 Fuß die Menge an geschmolzenen Milchschokoladen-M&Ms, die Joe in einer Zeitkapsel mitnehmen kann, die er auf seiner Reise der Selbstfindung für zukünftige Generationen begraben möchte durch die Welt. Himalaya:

volumen = π × 1,5² × 3 + 4/3 ×π ×1.5³ = 35.343 ft³

Sphärische Abdeckung

Die Kugelkalotte ist der Teil der Kugel, der durch eine Ebene vom Rest der Kugel getrennt ist. Wenn die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel geht, wird die Kugelkalotte als Halbkugel bezeichnet. Es gibt weitere Unterschiede, darunter das Kugelsegment, bei dem die Kugel in zwei parallele Ebenen unterteilt ist, und zwei unterschiedliche Radien, bei denen die Ebenen durch die Kugel verlaufen. Die Gleichung zur Berechnung des Volumens einer Kugelkalotte wird aus der Gleichung für ein Kugelsegment abgeleitet, bei dem der zweite Radius 0 ist. Bezüglich der im Taschenrechner angezeigten Kugelkalotte:

Bei zwei Werten berechnet der mitgelieferte Rechner einen dritten Wert und das Volumen. Die Gleichungen zum Umrechnen zwischen Höhe und Radius sind unten dargestellt:

Gegeben r und R: h = R ± √R² — r²

Gegeben R und h: r = √2Rh - h²
wobei r der Radius der Basis, R der Radius der Kugel und h die Höhe der Kugelkappe ist.

BEISPIEL: Jack möchte unbedingt seinen Freund James bei einem Golfspiel schlagen, um Jill zu beeindrucken, und anstatt zu üben, beschließt er, James' Golfball zu sabotieren. Er schneidet eine perfekte Kugelkappe von der Oberseite von James' Golfball und muss die Materialmenge berechnen, die benötigt wird, um die Kugelkappe zu ersetzen und das Gewicht von James' Golfball zu verlagern. Da der Golfball von James einen Radius von 1,68 Zoll hat und die Höhe der von Jack abgeschnittenen Kugelkappe 0,3 Zoll beträgt, kann das Volumen wie folgt berechnet werden:

volumen = 1/3 × π × 0,3² (3 × 1.68 — 0.3) = 0.447 in³

Unglücklicherweise für Jack erhielt James am Tag vor dem Spiel eine neue Ladung Bälle, und alle Bemühungen von Jack waren vergebens.

Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf ist der Teil eines starren Körpers, der übrig bleibt, wenn ein Kegel von zwei parallelen Ebenen geschnitten wird. Dieser Rechner berechnet speziell das Volumen für einen normalen runden Kegel. Typische Kegelstumpfformen des Alltags sind Lampenschirme, Eimer und manche Trinkgläser. Das Volumen eines rechteckigen Kegelstumpfes wird mit folgender Gleichung berechnet:

wobei r und R die Radien der Basen sind, h die Höhe des Kegelstumpfes ist

BEISPIEL: Beta hat erfolgreich etwas Eiscreme in einer Zuckertüte erhalten und es gerade so gegessen, dass die Eiscreme in der Waffel verpackt bleibt und die Oberfläche der Eiscreme bündig und parallel zur Ebene der Öffnung der Waffel ist. Sie will gerade anfangen, ihre Waffel und das übrig gebliebene Eis zu essen, als ihr Bruder ihre Waffel greift und den Boden der Waffel abbeißt, der perfekt parallel zu dem zuvor einzigen Loch ist. Beta hat jetzt einen rechten Eiskegelstumpf und sie muss die Menge an Eiscreme berechnen, die sie schnell essen muss, angesichts der Höhe des Kegelstumpfs von 4 Zoll und der Radien von 1,5 Zoll und 0,2 Zoll:

volumen =1/3 × π × 4(0,2² + 0.2 × 1.5 + 1.5²) = 10.849 in³

Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist das 3D-Gegenstück einer Ellipse und eine Oberfläche, die durch Skalierung von Richtungsmerkmalen als Deformation einer Kugel beschrieben werden kann. Der Mittelpunkt des Ellipsoids ist der Schnittpunkt dreier paarweise senkrecht stehender Symmetrieachsen, und die diese Symmetrieachsen begrenzenden Segmente heißen Hauptachsen. Wenn alle drei unterschiedlich lang sind, wird das Ellipsoid üblicherweise als triaxial bezeichnet. Die Gleichung zur Berechnung des Volumens eines Ellipsoids lautet wie folgt:

wobei a, b und c die Längen der Achsen sind

BEISPIEL: Denis isst nur gerne Fleisch, aber seine Mutter besteht darauf, dass er zu viel isst und erlaubt ihm, so viel Fleisch zu essen, wie in ein Ellipsenbrötchen passt. Also höhlt Denis das Brötchen aus, um so viel Fleisch wie möglich in sein Sandwich zu bekommen. Da die axiale Länge seines Brötchens 1,5 Zoll, 2 Zoll und 5 Zoll beträgt, berechnet Denis die Menge an Fleisch, die er in jedes ausgehöhlte Brötchen passt, wie folgt:

volumen = 4/3 × π × 1.5 × 2 × 5 = 62.832 in³

Pyramide in der Geometrie

Eine Pyramide in der Geometrie ist ein dreidimensionaler Körper, der gebildet wird, indem eine polygonale Basis mit einem Punkt verbunden wird, der als Scheitelpunkt bezeichnet wird, wobei ein Polygon eine Figur in einer Ebene ist, die durch eine endliche Anzahl von geraden Liniensegmenten begrenzt ist. Es gibt viele mögliche polygonale Grundflächen für eine Pyramide, aber eine quadratische Pyramide ist eine Pyramide, bei der die Grundfläche ein Quadrat ist. Ein weiterer Unterschied im Zusammenhang mit Pyramiden hat mit der Lage der Spitze zu tun. Die Spitze einer regelmäßigen Pyramide liegt direkt über dem Schwerpunkt ihrer Basis. Unabhängig davon, wo sich die Spitze der Pyramide befindet, wenn ihre Höhe als senkrechter Abstand von der Ebene, die die Basis enthält, zu ihrer Spitze gemessen wird, kann das Volumen der Pyramide geschrieben werden als:

Das verallgemeinerte Volumen der Pyramide:

Volumen einer quadratischen Pyramide:

EX: Vova ist fasziniert vom alten Ägypten und liebt besonders alles, was mit den Pyramiden zu tun hat. Als ältester seiner Geschwister Tu, Tri und Fauré kann er sie problemlos einsperren und nach Belieben einsetzen. Vova nutzt dies aus und beschließt, die altägyptischen Zeiten nachzustellen und seine Geschwister zu bitten, als Arbeiter eine 5 Fuß lange und 12 Fuß hohe Lehmpyramide zu bauen, deren Volumen mit der Quadratgleichung berechnet werden kann. Pyramide:

volumen = 1/3 × 5² × 12 = 100 ft³

Eine Tube

Ein Rohr, oft auch Rohr genannt, ist ein Hohlzylinder, der häufig zum Transport von Flüssigkeiten oder Gasen verwendet wird. Für die Berechnung des Volumens eines Rohrs wird im Wesentlichen dieselbe Formel verwendet wie für einen Zylinder (Volumen = pr2h), außer dass anstelle des Radius der Durchmesser und anstelle der Höhe die Länge verwendet wird. Die Formel beinhaltet also das Messen der Durchmesser des inneren und des äußeren Zylinders, wie in der Abbildung oben gezeigt, das Berechnen jedes ihrer Volumina und das Subtrahieren des Volumens des inneren Zylinders vom Volumen des äußeren. Unter Berücksichtigung der Verwendung der oben erwähnten Länge und des Durchmessers ist die Formel zur Berechnung des Rohrvolumens unten dargestellt:

dabei ist d1 der Außendurchmesser, d2 der Innendurchmesser und l die Rohrlänge.

Bsp.: Zhenya engagiert sich im Umweltschutz. Ihre Baufirma verwendet nur die umweltfreundlichsten Materialien. Sie ist auch stolz darauf, die Bedürfnisse der Kunden zu erfüllen. Einer ihrer Kunden hat ein Landhaus im Wald auf der anderen Seite eines Baches gebaut. Er möchte einen leichteren Zugang zu seinem Haus und bittet Beulah, einen Weg für ihn zu bauen, während er den Bach trotzdem frei fließen lässt, um seinen Lieblingsangelplatz nicht zu beeinträchtigen. Sie entscheidet, dass die lästigen Biberdämme ein guter Punkt wären, um ein Rohr über den Bach zu legen. Das Volumen des urheberrechtlich geschützten Schlagbetons, das zum Bau eines 10 Fuß langen Rohrs mit einem Außendurchmesser von 3 Fuß, einem Innendurchmesser von 2,5 Fuß und einer Länge von 10 Fuß erforderlich ist, kann wie folgt berechnet werden: